Cách 1
π 4 = arctan ( 1 ) = ∫ 0 1 1 1 + x 2 d x = ∫ 0 1 ( ∑ k = 0 n ( − 1 ) k x 2 k + ( − 1 ) n + 1 x 2 n + 2 1 + x 2 ) d x = ( ∑ k = 0 n ( − 1 ) k 2 k + 1 ) + ( − 1 ) n + 1 ( ∫ 0 1 x 2 n + 2 1 + x 2 d x ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{4}}&=\arctan(1)\\&=\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x^{2}}}\,dx\\[8pt]&=\int _{0}^{1}\left(\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}x^{2k}+{\frac {(-1)^{n+1}\,x^{2n+2}}{1+x^{2}}}\right)\,dx\\[8pt]&=\left(\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}\right)+(-1)^{n+1}\left(\int _{0}^{1}{\frac {x^{2n+2}}{1+x^{2}}}\,dx\right)\end{aligned}}}
Chỉ xét tích phân ở số hạng cuối cùng, chúng ta có:
0 ≤ ∫ 0 1 x 2 n + 2 1 + x 2 d x ≤ ∫ 0 1 x 2 n + 2 d x = 1 2 n + 3 → 0 khi n → ∞ . {\displaystyle 0\leq \int _{0}^{1}{\frac {x^{2n+2}}{1+x^{2}}}\,dx\leq \int _{0}^{1}x^{2n+2}\,dx={\frac {1}{2n+3}}\;\rightarrow 0{\text{ khi }}n\rightarrow \infty .}
Theo định lý kẹp, khi n → ∞, chúng ta sẽ có chuỗi Leibniz:
π 4 = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k 2 k + 1 {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}}
Cách 2
Từ hàm số f ( z ) = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n 2 n + 1 z 2 n + 1 {\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}z^{2n+1}} , khi | z | < 1 {\displaystyle |z|<1} , thì chuỗi ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k z 2 k {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}z^{2k}} sẽ hội tụ đều, khi đó thì
arctan ( z ) = ∫ 0 z 1 1 + t 2 d t = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n 2 n + 1 z 2 n + 1 = f ( z ) ( | z | < 1 ) . {\displaystyle \arctan(z)=\int _{0}^{z}{\frac {1}{1+t^{2}}}dt=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}z^{2n+1}=f(z)\ (|z|<1).}
Vì thế, nếu f ( z ) {\displaystyle f(z)} tiến đến f ( 1 ) {\displaystyle f(1)} thì nó sẽ liên tục và hội tụ đều. Căn cứ tiêu chuẩn Leibniz thì chuỗi ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n 2 n + 1 {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}} cũng sẽ hội tụ. Ngoài ra, khi f ( z ) {\displaystyle f(z)} tiến đến f ( 1 ) {\displaystyle f(1)} trong phạm vi góc Stolz, thì tổng Abel cũng chính xác.
